Ένας φυσικός αριθμός λέγεται τέλειος αν ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του εκτός από τον ίδιο, π.χ. 6=1+2+3.
Ο Ευκλείδης στα στοιχεία του περιγράφει τους τέλειους αριθμούς και δίνει σχετικό τύπο. Μας λέει δηλαδή ότι αν ο \(p\) είναι πρώτος και ταυτόχρονα ο \( 2^p – 1 \) είναι πρώτος, τότε ο \( N = 2^{p-1}(2^p – 1) \) είναι τέλειος αριθμός.
Παραδείγματα
| (p) | \(2^p – 1\) | Τέλειος αριθμός \(N = 2^{p-1}(2^p – 1)\) |
| 2 | 3 (πρώτος) | \(2^{1} \times 3 = 6\) |
| 3 | 7 (πρώτος) | \(2^{2} \times 7 = 28\) |
| 5 | 31 (πρώτος) | \(2^{4} \times 31 = 496\) |
| 7 | 127 (πρώτος) | \(2^{6} \times 127 = 8128\) |
Ας δούμε τώρα γιατί ο τύπος του Ευκλείδη
\[
N = 2^{p-1}(2^p – 1)
\]
δίνει πράγματι τέλειο αριθμό, όταν \(2^p – 1\) είναι πρώτος.
🔹 Υπόθεση:
Έστω ότι \(p\) είναι πρώτος και \(2^p – 1\) είναι επίσης πρώτος (δηλαδή πρώτος του Μερσέν).
Θέλουμε να δείξουμε ότι
\[
N = 2^{p-1}(2^p – 1)
\]
είναι τέλειος, δηλαδή ότι το άθροισμα όλων των θετικών διαιρετών του (εκτός από τον ίδιο) ισούται με (N).
🔹 Βήμα 1: Οι διαιρέτες του \(N\)
Επειδή \(2^{p-1}\) και \(2^p – 1\) είναι πρώτοι προς αλλήλους (δεν έχουν κοινούς παράγοντες),
οι διαιρέτες του \(N\) προκύπτουν αν πάρουμε:
- έναν διαιρέτη του \(2^{p-1}\), δηλαδή κάποιο από τους \(1, 2, 2^2, \ldots, 2^{p-1}\),
- και προαιρετικά, να τον πολλαπλασιάσουμε με \(2^p – 1\).
Άρα το σύνολο των διαιρετών είναι:
\[
1, 2, 2^2, \ldots, 2^{p-1}, \quad (2^p – 1), 2(2^p – 1), 2^2(2^p – 1), \ldots, 2^{p-1}(2^p – 1)
\]
🔹 Βήμα 2: Άθροισμα των διαιρετών
Το άθροισμα των διαιρετών ενός γινομένου \(a \cdot b\) (όταν δεν έχουν κοινούς παράγοντες) είναι
\[
\sigma(a b) = \sigma(a)\sigma(b)
\]
όπου \(\sigma(x)\) είναι το άθροισμα των διαιρετών του \(x\).
Εδώ λοιπόν:
\[
\sigma(N) = \sigma(2^{p-1}) \cdot \sigma(2^p – 1)
\]
🔹 Βήμα 3: Υπολογίζουμε καθένα χωριστά
1️⃣ Για \(2^{p-1}\):
\[
\sigma(2^{p-1}) = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{p-1} = 2^p – 1
\]
2️⃣ Για \(2^p – 1\) (είναι πρώτος, άρα οι διαιρέτες του είναι 1 και ο ίδιος):
\[
\sigma(2^p – 1) = 1 + (2^p – 1) = 2^p
\]
🔹 Βήμα 4: Συνδυάζουμε
\[
\sigma(N) = (2^p – 1) \cdot 2^p = 2^p(2^p – 1)
\]
Αλλά ο ίδιος ο αριθμός είναι:
\[
N = 2^{p-1}(2^p – 1)
\]
🔹 Βήμα 5: Συμπέρασμα
Το άθροισμα όλων των διαιρετών είναι \(2 \times N\).
Άρα το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών (δηλαδή χωρίς τον ίδιο τον αριθμό) είναι:
\[
\sigma(N) – N = 2N – N = N
\]
Άρα ο \(N\) είναι τέλειος αριθμός.