Επιστήμη και Δημοκρατία

Ω, κύριοι, ο χρόνος της ζωής είναι σύντομος…
και αν ζούμε, είναι για να ποδοπατάμε τον βασιλιά…

Σαίξπηρ, Γουίλιαμ

Έτσι, αναδυόμενος από τον Ελληνικό Μεσαίωνα, ένας εντελώς νέος πολιτισμός εμφανίστηκε στην ιστορία του πολιτισμένου κόσμου. Ένας πολιτισμός πολύ διαφορετικός από τον Μυκηναϊκό. Τα μεγάλα παλάτια δεν υπήρχαν πλέον, ούτε οι ημι-θεϊκοί βασιλιάδες. Στην Ελλάδα που βίωνε μια οικονομική και πολιτιστική αναγέννηση τον 7ο αιώνα π.Χ., δεν υπήρχε κεντρική εξουσία, ούτε οργανωμένη θρησκευτική αρχή, ούτε ισχυρή εκκλησία ή ιερατική κάστα, ούτε κάποιο ιερό βιβλίο.
Για πρώτη φορά, η πόλη, η “πόλις”, αναφέρθηκε ως αυτόνομη οντότητα, που λάμβανε αποφάσεις άμεσα. Αυτές οι αποφάσεις συχνά λαμβάνονταν μέσω της άμεσης συμμετοχής και της ελεύθερης συζήτησης όλων των πολιτών.
Η πολιτική δομή αυτών των πόλεων ήταν εξαιρετικά ποικίλη και περίπλοκη: βασιλιάδες, έπειτα βασιλιάδες που εκδιώχθηκαν, αριστοκρατίες, τυραννίες, δημοκρατίες, ανταγωνιστικά πολιτικά κόμματα, συντάγματα που γράφονταν και ξαναγράφονταν. Με λίγα λόγια, η διαχείριση των δημοσίων υποθέσεων επανεξεταζόταν και αμφισβητούνταν συνεχώς. Οι ελληνικές πόλεις ήταν μέρη όπου μια μεγάλη τάξη πολιτών, πολλοί από τους οποίους μπορούσαν να διαβάζουν και να γράφουν, συζητούσαν μεταξύ τους πώς να δομήσουν την εξουσία και να λάβουν σημαντικές αποφάσεις. Οι πρώτες δημοκρατικές διαδικασίες άρχιζαν να αναδύονται. Ο Σόλων, ο οποίος έγραψε το πρώτο δημοκρατικό σύνταγμα της Αθήνας, ήταν, όπως ανέφερα, σύγχρονος του Αναξίμανδρου.
Παράλληλα με αυτή την αποϊεροποίηση και εκκοσμίκευση της δημόσιας ζωής, η οποία πέρασε από τα χέρια των θεϊκών βασιλιάδων σε εκείνα των πολιτών, προέκυψε μια διαδικασία αποϊεροποίησης και εκκοσμίκευσης της γνώσης. Ο νόμος που ο Αναξίμανδρος προσπάθησε να κατανοήσει τον κόσμο ήταν ο αδελφός του νόμου που οι πολίτες των ελληνικών πόλεων προσπάθησαν να οργανώσουν τον εαυτό τους. Και στις δύο περιπτώσεις, δεν ήταν πλέον θεϊκός νόμος, ούτε δοσμένος άπαξ και δια παντός, αλλά επαναδιαπραγματευόταν συνεχώς.

Από το βιβλίο “Che cos’ e la scienza. La revoluzione di Anassimandro.”

Πυθαγόρεια…

Μια σημαντική Διοφαντική εξίσωση είναι και η \(x^n+y^n=z^n\), όπου \(x, y, z\) οι άγνωστοι και \(n\) φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1. Την λέμε σημαντική, γιατί ενώ για \(n=2\) έχει άπειρες λύσης στους ρητούς αριθμούς, αφού είναι η εξίσωση που διέπει τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Πυθαγόρειο θεώρημα), για \(n>2\), οι μαθηματικοί έχυσαν πολύ μελάνι αλλά και χρόνο, για να αποδείξουν ότι δεν έχει λύσεις στο σύνολο των ρητών αριθμών.

Το 1996 μετά από δεκαετή μυστική προσπάθεια ο καθ. \(Andrew \; Wiles\) έδωσε την απόδειξη και κέρδισε το βραβείο Fields. Είναι το περιβόητο “Τελευταίο Θεώρημα του \(Fermat.\)” Βασικό του εργαλείο η θεωρία ελλειπτικών καμπυλών που δεν έχει σχέση με ελλείψεις…

Βέβαια έδωσα τίτλο “Πυθαγόρεια”, ενώ για όσα είπα παραπάνω εμπλέκονται ο Διόφαντος και ο \(Fermat\). Γι αυτό ας γυρίσουμε στον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ως γνωστό, για \(n=2\) έχουμε την εξίσωση που διέπει τα ορθογώνια τρίγωνα. Για την συγκεκριμμένη εξίσωση υπάρχουν άπειρες λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Μια βασική λύση είναι για παράδειγμα η \(3,4,5\) όπου οι δυο πρώτοι αριθμοί είναι τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και ο τρίτος είναι το μήκος της υποτείνουσας του.
Το γιατί είναι άπειρες οι ακέραιες λύσεις της \(x^2+y^2=z^2\), είναι πολύ απλό, αφού αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της τριάδας \(3,4,5\) με οποιονδήποτε ακέραιο, θα πάρουμε πάλι Πυθαγόρεια τριάδα αριθμών δηλαδή αριθμών που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αυτή η τριάδα που παράγει με έναν απλό πολλαπλασιασμό με ακέραιο, άλλες τριάδες ονομάζεται πρωτογενής. Η έρευνα λοιπόν και το ενδιαφέρον για Πυθαγόρειες τριάδες ασχολείται με την εύρεση των πρωτογενών τριάδων, ζήτημα που απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες. Ήδη από την εποχή εκείνη ήταν γνωστή η μέθοδος εύρεσης των τριάδων αυτών για τους Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Διόφαντο και άλλους.
Σύμφωνα με την απλή αυτή μέθοδο, παίρνουμε δυό θετικούς ακέραιους \(a, b\) με \(a >b\), και \((a,b)=1\), δηλαδή πρώτους προς αλλήλους και φέρνουμε την ευθεία γραμμή από το σημείο \((-1,0)\) με κλίση \(b/a\), που τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο κέντρου \((0,0)\), στο σημείο \((u,v)\). Είναι εύκολο να δείξουμε ότι \[u=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\quad v=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.\]
Είναι προφανές ότι οι ακέραιοι \(x=a^2-b^2, y=2ab, z=a^2+b^2\) αποτελούν μια Πυθαγόρεια τριάδα, αφού \(u^2+v^2=1.\) (Σχήμα).
Οι πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το \(1\), είναι δηλαδή οι αριθμοί των τριάδων αυτών, πρώτοι προς αλλήλους.

Βλέπουμε λοιπόν ότι βάζοντας θετικούς ακέραιους σαν τιμές των \(a\) και \(b\) που είναι πρώτοι προς αλλήλους, παίρνουμε όλες τις δυνατές πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες.

Αναξίμανδρος 1.

Αναξίμανδρος

«Τα πάντα προκύπτουν το ένα από το άλλο και χάνονται το ένα μέσα στο άλλο, ανάλογα με την ανάγκη. Αποδίδουν δικαιοσύνη το ένα στο άλλο και ανταμείβουν το ένα το άλλο για την αδικία, σύμφωνα με την τάξη του χρόνου».

Αυτά είναι σύντομα, ασαφή λόγια για τα οποία έχουν γραφτεί πολλά και για τα οποία μπορεί κανείς εύκολα να ονειρευτεί, αλλά τα οποία είναι δύσκολο να ερμηνεύσει κανείς με βεβαιότητα, εκτός των συμφραζομένων τους. 
Οι ελληνικές πηγές σχετικά με το περιεχόμενο του βιβλίου του Αναξίμανδρου είναι πολυάριθμες. Πολλές, ωστόσο, είναι ύστερες, έμμεσες και όχι πάντα αξιόπιστες. Μία από τις πιο ενδιαφέρουσες είναι αυτές του Αριστοτέλη, ο οποίος συζητά επανειλημμένα τις ιδέες του Αναξίμανδρου και γράφει γι αυτές κάπου λιγότερο από δύο αιώνες μετά από αυτόν. Κατά πάσα πιθανότητα, ο Αριστοτέλης είχε το βιβλίο του Αναξίμανδρου στη διάσημη βιβλιοθήκη του. Η σκέψη του Αναξίμανδρου παρουσιάζεται λεπτομερώς στις «Γνώμες των Φυσικών», μια ιστορία της φιλοσοφίας που γράφτηκε από τον Θεόφραστο, μαθητή του Αριστοτέλη και διάδοχο ως ηγέτη της Περιπατητικής σχολής. Το έργο του Θεόφραστου έχει χαθεί, αλλά συζητείται εκτενώς σε αρκετές πολύ μεταγενέστερες πηγές που έχουν φτάσει σε εμάς, για παράδειγμα, ο Σιμπλίκιος, ένας φιλόσοφος που έζησε μεταξύ Αλεξάνδρειας και Αθήνας τον έκτο αιώνα μ.Χ. Πάνω από μια χιλιετία πέρασε μεταξύ του Αναξίμανδρου και του Σιμπλίκιου.

Η σύγχρονη ανακατασκευή της σκέψης του Αναξίμανδρου, ξεκινώντας από παρόμοιες πηγές -πολυάριθμες, αλλά ανόμοιες και ύστερες- είναι ένα συναρπαστικό αίνιγμα. Οι σύγχρονες τεχνικές για το ξεδίπλωμα και την αποκρυπτογράφηση των αρχαίων απανθρακωμένων ρολών που αποκαλύπτουν οι αρχαιολογικές ανασκαφές σε αρχαίες ρωμαϊκές βιβλιοθήκες βελτιώνονται τώρα, όπως και οι τεχνικές για την ακτινογραφία αιγυπτιακών περιτυλίξεων μουμιών, που συχνά λαμβάνονται με το σκίσιμο αντιγράφων βιβλίων. Με την ελπίδα ότι ένα από αυτά θα αποκαταστήσει το κείμενο του Θεόφραστου, ή ίσως τελικά το ίδιο το κείμενο του Αναξίμανδρου, σε αυτές τις ανακατασκευές πρέπει να βασιστούμε.

Χωρίς να εμβαθύνουμε στις λεπτομέρειες αυτής της πολύπλοκης τέχνης, συνοψίζουμε παρακάτω τις κύριες ιδέες που, υπό το φως των πιο αξιόπιστων μελετητών [Kahn 1960, Conche 1991, Couprie 2003, Graham 2006], φαίνεται λογικό να αποδοθούν στον Αναξίμανδρο:

1. Τα καιρικά φαινόμενα έχουν φυσικά αίτια. Το νερό της βροχής, το θαλασσινό νερό και το νερό των ποταμών εξατμίζονται λόγω της θερμότητας του ήλιου· μεταφέρονται από τους ανέμους και στη συνέχεια πέφτουν στη γη. Οι βροντές και οι αστραπές προκαλούνται από τη σύγκρουση και το σχίσιμο των νεφών. Οι σεισμοί προκαλούνται από το σχίσιμο της Γης, που προκαλείται, για παράδειγμα, από υπερβολική ζέστη ή υπερβολική βροχή.

2. Η Γη είναι ένα πεπερασμένο σώμα που αιωρείται στο διάστημα. Δεν πέφτει επειδή δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την οποία να πέσει και δεν «κυριαρχείται από κανένα άλλο σώμα».

3. Ο Ήλιος, η Σελήνη και τα αστέρια περιστρέφονται γύρω από τη Γη σε πλήρεις κύκλους. Μεταφέρονται από τεράστιους τροχούς, παρόμοιους με τους «τροχούς των αρμάτων». Αυτοί οι τροχοί είναι κούφιοι στο εσωτερικό τους, γεμάτοι με φωτιά και έχουν τρύπες μέσα τους: τα αστέρια είναι η φωτιά που βλέπουμε μέσα από αυτές τις τρύπες. Οι τροχοί πιθανώς χρησιμεύουν για να εξηγήσουν γιατί τα αστέρια δεν πέφτουν. Τα αστέρια βρίσκονται σε πιο κοντινούς κύκλους, η Σελήνη σε έναν ενδιάμεσο κύκλο και ο Ήλιος στον πιο μακρινό κύκλο, σε αποστάσεις ανάλογες με τους αριθμούς 9, 18 και 27, αντίστοιχα.

4. Η πολλαπλότητα των πραγμάτων που αποτελούν τη φύση προέρχεται από μια ενιαία αρχή ή «αρχή», που ονομάζεται «άπειρον», δηλαδή το «αδιάκριτο».

5. Ο μετασχηματισμός των πραγμάτων το ένα σε άλλο διέπεται από την «αναγκαιότητα». Αυτό καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσονται τα φαινόμενα με την πάροδο του χρόνου.

6. Ο κόσμος γεννήθηκε όταν το κρύο και η ζέστη διαχωρίστηκαν από το «άπειρο». Αυτό δημιούργησε την τάξη του κόσμου. Ένα είδος σφαίρας φλόγας αναπτύχθηκε γύρω από τον αέρα και τη Γη «σαν τον φλοιό ενός δέντρου». Αυτή στη συνέχεια θρυμματίστηκε και παρέμεινε περιορισμένη μέσα στους κύκλους που σχηματίζουν τον Ήλιο, τη Σελήνη και τα αστέρια. Η Γη αρχικά καλύφθηκε με νερό και σταδιακά ξηράνθηκε.

7. Όλα τα ζώα προήλθαν αρχικά από τη θάλασσα ή από την αρχική υγρασία που κάποτε κάλυπτε τη Γη. Τα πρώτα ζώα ήταν επομένως ψάρια ή ένα είδος ψαριού. Στη συνέχεια μετανάστευσαν στην ξηρά και εγκαταστάθηκαν εκεί. Οι άνθρωποι, ειδικότερα, δεν θα μπορούσαν να έχουν προκύψει στην τρέχουσα μορφή τους, επειδή τα μικρά παιδιά δεν είναι αυτάρκη και επομένως κάποιος άλλος πρέπει να τα τάισε. Προέκυψαν από άλλα ζώα, σε σχήμα ψαριού.