Μια σημαντική Διοφαντική εξίσωση είναι και η \(x^n+y^n=z^n\), όπου \(x, y, z\) οι άγνωστοι και \(n\) φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1. Την λέμε σημαντική, γιατί ενώ για \(n=2\) έχει άπειρες λύσης στους ρητούς αριθμούς, αφού είναι η εξίσωση που διέπει τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Πυθαγόρειο θεώρημα), για \(n>2\), οι μαθηματικοί έχυσαν πολύ μελάνι αλλά και χρόνο, για να αποδείξουν ότι δεν έχει λύσεις στο σύνολο των ρητών αριθμών.
Το 1996 μετά από δεκαετή μυστική προσπάθεια ο καθ. \(Andrew \; Wiles\) έδωσε την απόδειξη και κέρδισε το βραβείο Fields. Είναι το περιβόητο “Τελευταίο Θεώρημα του \(Fermat.\)” Βασικό του εργαλείο η θεωρία ελλειπτικών καμπυλών που δεν έχει σχέση με ελλείψεις…
Βέβαια έδωσα τίτλο “Πυθαγόρεια”, ενώ για όσα είπα παραπάνω εμπλέκονται ο Διόφαντος και ο \(Fermat\). Γι αυτό ας γυρίσουμε στον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ως γνωστό, για \(n=2\) έχουμε την εξίσωση που διέπει τα ορθογώνια τρίγωνα. Για την συγκεκριμμένη εξίσωση υπάρχουν άπειρες λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Μια βασική λύση είναι για παράδειγμα η \(3,4,5\) όπου οι δυο πρώτοι αριθμοί είναι τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και ο τρίτος είναι το μήκος της υποτείνουσας του.
Το γιατί είναι άπειρες οι ακέραιες λύσεις της \(x^2+y^2=z^2\), είναι πολύ απλό, αφού αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της τριάδας \(3,4,5\) με οποιονδήποτε ακέραιο, θα πάρουμε πάλι Πυθαγόρεια τριάδα αριθμών δηλαδή αριθμών που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αυτή η τριάδα που παράγει με έναν απλό πολλαπλασιασμό με ακέραιο, άλλες τριάδες ονομάζεται πρωτογενής. Η έρευνα λοιπόν και το ενδιαφέρον για Πυθαγόρειες τριάδες ασχολείται με την εύρεση των πρωτογενών τριάδων, ζήτημα που απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες. Ήδη από την εποχή εκείνη ήταν γνωστή η μέθοδος εύρεσης των τριάδων αυτών για τους Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Διόφαντο και άλλους.
Σύμφωνα με την απλή αυτή μέθοδο, παίρνουμε δυό θετικούς ακέραιους \(a, b\) με \(a >b\), και \((a,b)=1\), δηλαδή πρώτους προς αλλήλους και φέρνουμε την ευθεία γραμμή από το σημείο \((-1,0)\) με κλίση \(b/a\), που τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο κέντρου \((0,0)\), στο σημείο \((u,v)\). Είναι εύκολο να δείξουμε ότι \[u=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\quad v=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.\]
Είναι προφανές ότι οι ακέραιοι \(x=a^2-b^2, y=2ab, z=a^2+b^2\) αποτελούν μια Πυθαγόρεια τριάδα, αφού \(u^2+v^2=1.\) (Σχήμα).
Οι πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το \(1\), είναι δηλαδή οι αριθμοί των τριάδων αυτών, πρώτοι προς αλλήλους.
Βλέπουμε λοιπόν ότι βάζοντας θετικούς ακέραιους σαν τιμές των \(a\) και \(b\) που είναι πρώτοι προς αλλήλους, παίρνουμε όλες τις δυνατές πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες.