Διαιρετότητα

Οι αρχαίοι Έλληνες αντί για αριθμούς, χρησιμοποιούσαν τα γράμματα της αρχαίας Ελληνικής αλφαβήτου τους. Επειδή ο λογισμός και η παράσταση ποσοτήτων με γράμματα ήταν πολύ δύσχρηστη διαδικασία, γι αυτό κάθε φορά που ήθελαν να φτιάξουν αξιώματα, θεωρήματα ή πορίσματα, είχαν στο μυαλό τους γεωμετρικά μεγέθη.
Αυτό είναι προφανές στα “Στοιχεία” του Ευκλείδη, όπου θεμελιώθηκαν τα μαθηματικά όπως τα ξέρουμε σήμερα. Στο 7ο βιβλίο των “Στοιχείων”, γίνεται μια ανάλυση της διαιρετότητας φυσικών αριθμών, και κατηγοριοποίηση τους.
Η πράξη της διαίρεσης είναι μια σύνθετη πράξη που στην ουσία προέρχεται από την μέτρηση ενός ευθυγράμμου ας πούμε τμήματος. Αν το τμήμα έχει μήκος \(\alpha\) και θέλουμε να δούμε πόσε φορές χωρά σ’ αυτό ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα \(\beta\) με \(\alpha>\beta\), που στην ουσία είναι το μέτρο μας, φτιάχνουμε μιαν ακολουθία διαφορών \[\alpha-\beta, \; \alpha-2\beta \; \alpha-3\beta, \;…\; \alpha-\kappa \beta\] και σταματάμε σε κάποιο διαφορά, εδώ στην \(\alpha-\kappa \beta\), ώστε να μπορούμε να πούμε ότι το \(\beta\) χωρά \(\kappa\) φορές στο \(\alpha\) και ίσως περισσεύει πάνω στο \(\alpha\) κάποιο τμήμα πιο μικρό από το \(\beta\), ίσως όχι…
Η τιμή αυτή \(\alpha-\kappa \beta\) είναι προφανώς μικρότερη του \(\beta\). Για την συγκεκριμμένη καλλίτερη διαφορά η τιμή του \(\kappa\) ονομάζεται πηλίκο της μέτρησης που κάναμε, ή αν θέλετε πηλίκο της διαίρεσης που κάναμε στο ευθύγραμμο τμήμα \(\alpha\) με το ευθύγραμμο τμήμα \(\beta\).
Η βασική σχέση της διαίρεσης είναι η \(\Delta=\delta \cdot \pi +\upsilon,\) όπου \(\Delta\) είναι ο αριθμός που θέλουμε να διαιρέσουμε, (να μετρήσουμε), με τον αριθμό \(\delta\) που είναι το μέτρο μας και ονομάζεται διαιρέτης, \(\pi\) είναι το πηλίκο και \(\upsilon\) το υπόλοιπο της διαίρεσης-μέτρησης που από δω και πέρα θα λέμε διαίρεση σκέτο. Στη σχέση αυτή ισχύει πάντα \(0\leq \upsilon<\delta\).