Fibonacci (συνέχεια)

Οι αριθμοί Fibonacci έχουν σημαντικές ιδιότητες. Εδώ θα αναφέρουμε μερικές απ’ αυτές. Πρώτα βέβαια θα συμβολίσουμε τους αριθμούς στη σειρά. Έτσι έχουμε \(F_1=1,\; F_2=1, \; F_3=2, \; F_4=3, \; F_5=5,\; F_6=8…\) κ.ο.κ
1. Δύο συνεχόμενοι αριθμοί Fibonacci είναι πρώτοι προς αλλήλους, δηλαδή δεν έχουν κοινούς παράγοντες παρα μόνο το 1.
2. Το άθροισμα των \(n\) πρώτων αριθμών Fibonacci είναι \(\sum_{i=1}^{n}F_i=F_{n+2}-1\)
3. Το άθροισμα των τετραγώνων των αριθμών Fibonacci για παράδειγμα των 6 πρώτων, είναι   \(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2 +13^2=273=13\cdot 21\) δηλαδή ισχύει η \[\sum_{i=1}^{n}F_{i}^2=F_n\cdot F_{n+1}.\] για κάθε \(n.\)
4. Αν πάρουμε το τετράγωνο ενός Fibonacci αριθμού π.χ. του \(F_7=13^2=169\) και του αφαιρέσουμε το τετράγωνο ενός μικρότερου κατά δύο θέσεις δηλαδή εδώ του \(F_5=5^2=25\), θα έχουμε \(F_{7}^2-F{5}^2=169-25=144=F_12.\) Το ίδιο συμβαίνει και για κάθε διαφορά τετραγώνων αριθμών Fibonacci π.χ. \(F_{15}^2-F_{13}^2=610^2-233^2=372100-54289=317811=F_28.\) Θα έχουμε δηλαδή τη σχέση \[F_{n}^2-F_{n-2}^2=F_{2n-2}.\]
5. Ισχύει \(F_{n}^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}.\)
6. Ισχύει \(F_{n-1}\cdot F_{n+1}=F_{n}^2+(-1)^n.\)
7. Ξεκινώντας από τον πρώτο αριθμό Fibonacci παρατηρούμε ότι κάθε επόμενος τρίτος είναι άρτιος, δηλαδή διαιρείται με το 2 (που είναι ο \(F_3\), κάθε τέταρτος επόμενος διαιρείται με το 3, που είναι ο \(F_4\), κάθε 5ος επόμενος διαιρείται με το 5 που είναι ο \(F_5\). Ελέγχοντας για διαιρετότητα με τον επόμενο αριθμό Fibonacci, δηλαδή τον \(F_6=8\) βλέπουμε ότι οι \(F_6, F_12, F_18, F_24, F_30…\) διαιρούνται με το 8 δηλαδή τον \(F_6.\) Αν δηλαδή ο \(k\) διαιρείται με το \(m\), τότε ο \(F_k\) διαιρείται με τον \(F_m.\)
Αυτές είναι μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών της σειράς Fibonacci.