Σώματα, Δακτύλιοι, Ομάδες

Το σύνολο των φυσικών αριθμών \( \mathbf{N} \), για παράδειγμα, δεν είναι Σώμα. Αυτό γιατί αν π.χ. αφαιρέσουμε το 8 από το 4 δεν υπάρχει αποτέλεσμα στους φυσικούς αριθμούς. Θα μιλήσουμε παρακάτω για τους κανόνες αλλά και για τους αριθμούς και τις ιδιότητες τους, διεξοδικότερα.

Το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί μπήκαν στο υπολογιστικό μας ρεπερτόριο πολύ αργότερα, από την εποχή που ο Ευκλείδης έγραψε τα "Στοιχεία" του. Αλλά και το δεκαδικό σύτημα αρίθμησης άρχισε να χρησιμοποιείται μετά τα 1200. Ήταν σε χρήση το σύστημα αρίθμησης των Ρωμαίων, το οποίο αντικατέστησε το Ελληνικό αλφάβητο στους υπολογισμούς. Δύσχρηστο και το ένα και το άλλο αντικαταστάθηκαν από το Ινδο-αραβικό σύστημα αρίθμησης που προσέφερε μεγάλη ευκολία στους υπολογισμούς.

Ένας έμπορος την εποχή εκείνη μετέφερε στην γηραιά Ευρώπη το σύστημα αρίθμησης "θέσης" όπως το αποκαλούν οι μαθηματικοί, που χρησιμοποιεί δέκα σύμβολα, τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9, που χρησιμοποιούσαν οι Ινδοί και μαζί με το 0 (μηδέν) που οι Άραβες αποκαλούσαν ζεφίρ, μπορούσαν να κατασκευάσουν όλους τους αριθμούς.

Το 1202 ο Leonardo Pisano (ο Λεονάρδος από την Πίζα), όπως ονομαζόταν ο έμπορος με το παρατσούκλι Fibonacci (figlio di Bonacci), δημοσίευσε το βιβλίο Liber Abbaci που έμελε να εγκαθιδρύσει το δεκαδικό σύστημα σαν πρότυπο σύστημα αρίθμησης στην Ευρώπη. Ο Fibonacci καθιερώθηκε σαν το σημαντικότερο Μαθηματικό μυαλό της εποχής του, αφού δημοσίευεσε πρωτοπόρες για την εποχή ιδέες, εκτός από την καθιέρωση του σημαντικού για την ανάπτυξη των μαθηματικών σύστημα συστήματος αρίθμησης.

Οι μαθηματικοί το λένε αριθμητικό σύστημα "θέσης", γιατί κατά την περιγραφή ενός αριθμού, η θέση που βρίσκεται το κάθε ψηφίο είναι αυτή που καθορίζει το μέγεθος του. Για παράδειγμα ο αριθμός 325 σημαίνει τρεις εκατοντάδες, δύο δεκάδες και πέντε μονάδες, όπως και ο αριθμός 4237 σημαίνει τέσσερεις χιλιάδες, δύο εκατοντάδες, τρεις δεκάδες και 7 μονάδες. Έτσι ο τελευταίος μπορεί να γραφτεί: \(4\cdot 1000+2\cdot 100+3\cdot 10+7\). Η θέση του κάθε ψηφίου καθορίζει την αξία του.

Τους αρνητικούς αριθμούς γνώριζε ο Διόφαντος. Τους αποκαλούσε "λείψη". Οι Κινέζοι τους χρησιμοποιούσαν στο 60δικό τους σύστημα, οι Ινδοί τους ξεχώριζαν με έναν κύκλο μπροστά, ενώ μπήκαν στην ζωή μας μετά τον 16ο αιώνα από τον μαθηματικό Albert Girard (1602), που στις εργασίες του χρησιμοποιούσε και έκανε αποδεκτές αρνητικές ρίζες εξισώσεων. Τελικά οι αρνητικοί αριθμοί έγιναν πλήρως αποδεκτοί στις αρχές του 19ου αιώνα.

Το μηδέν \((0)\) ξεκίνησε την καριέρα του από τους Σουμέριους και Βαβυλώνιους, χρησιμοποιήθηκε σαν δείκτης που δείχνει την ανυπαρξία, ενώ οι Ινδοί το χρησιμοποίησαν σαν αριθμό περίπου όπως το χρησιμοποιούμε σήμερα και τελικά το πήραν οι Άραβες, το χρησιμοποίησαν με τη σημερινή του μορφή και χρήση. Ο Fibonacci στο Liber abacci το χρησιμοποίησε στους υπολογισμούς, ενώ η καθολική Ευρώπη το αντιμετώπισε με δυσπιστία, όπως και τους "αραβικούς" αριθμούς, αφού εύκολα παραποιούνταν.

Η καθιέρωση του μηδενός οδήγησε στην καθιέρωση και των αρνητικών αριθμών, που με τον Καρτέσιο μπήκαν για τα καλά στον μαθηματικό λογισμό. Η εξάπλωση των καρτεσιανών συντεταγμένων που πάντρευε Άλγεβρα (εξισώσεις) και Γεωμετρία ήταν το έναυσμα του ορισμού ενός ευρύτερου συνόλου απ' αυτό των Φυσικών αριθμών. Το νέο σύνολο, ονομάστηκε σύνολο των Ακεραίων αριθμών.

Η πράξη της διαίρεσης δημιούργησε πολλά προβλήματα στην ολοκλήρωση των αριθμητικών συστημάτων. Οι δεκαδικοί αριθμοί ήταν γνωστοί στους αρχαίους Έλληνες, στους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Βάζουμε την αξιωματική θεώρηση τους πρώτα, όπως παρουσιάστηκαν στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Εκεί οι δεκαδικοί παρουσιάζονται σαν το πηλίκο δύο φυσικών αριθμών, και εμείς επεκτείναμε τον ορισμό ορίζοντας τους σαν το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών. Έτσι δημιουργήσαμε το αριθμητικό σύνολο των Ρητών αριθμών. Έτσι δόθηκε λύση στην εξίσωση π.χ. \(3x=5\) και αυτή ήταν ο αριθμός \(\dfrac{5}{3}\).

Οι Πυθαγόριοι ήταν οι πρώτοι που ανακάλυψαν ένα νέο σύνολο αριθμών. Ο Πυθαγόρας απογοητεύτηκε όταν το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με μιά μονάδα, δεν έδινε σαν υποτείνουσα κάποιον γνωστό αριθμό. Απέφυγε να το ερευνήσει και απαγόρευσε στους μαθητές του να συζητούν το θέμα. Πράγματι από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι \(1^2+1^2=2\) και δεν μπορούσαν να βρούνε ποιός αριθμός θα είχε σαν τετράγωνο το 2. Ο αριθμός \(\sqrt2\) δεν ήταν κάποιος γνωστό αριθμός, που θα μπορούσε να παρασταθεί σαν το πηλίκο δύο ακεραίων. Πράγματι αν μπορούσε να παρασταθεί σαν πηλίκο δύο ακεραίων έστω \(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\) τότε θα είχαμε \(2b^2=a^2\).