\(\textbf{Άσκηση 1}\). Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f(x)=-4\alpha x-x^2\) και \(g(x)=\dfrac{\beta}{1-2e^{-1}}\,x^2-4x+6\), όπου \(\alpha\) είναι η πραγματική ρίζα της εξίσωσης \(z^4+(1-4i)z^3-4iz^2-3iz-3i=0\) και \(\beta= \int_{1}^{e} \dfrac{lnx}{x^2} \,dx\).

\(\textbf{Απόδειξη}\). Έχουμε:

\(\begin{equation} \begin{gathered}z^4+(1-4i)z^3-4iz^2-3iz-3i=0 \iff z^3(z+1)-4iz^2(z+1)-3i(z+1)=0 \\ \iff (z+1)(z^3-4iz^2-3i)=0 \iff (z+1)(z^3-3iz^2-iz^2-3i)=0 \\ \iff (z+1)[z^2(z-i)-3i(z^2+1)]=0 \iff (z+1)[z^2(z-i)-3i(z-i)(z+i)]=0 \\ \iff (z+1)(z-i)(z^2-3iz+3)=0 \end{gathered} \end{equation} \),

δηλαδή είτε \(z=-1\), είτε \(z=i\), είτε \(z^2-3iz+3=0\)

απ' όπου προκύπτει ότι η μόνη πραγματική ρίζα της είναι η \(z=-1\).

Έχουμε επιπλέον ότι \(\beta=\int_{1}^{e} \dfrac{lnx}{x^2} \,dx= \int_{1}^{e} \big( -\dfrac{1}{x} \big)^{'}lnxdx=...=1-2e^{-1}\)

Οι συναρτήσεις μας λοιπόν γράφονται \(f(x)=4x-x^2\) και \(g(x)=x^2-4x+6\). Το σύστημα λοιπόν αυτών των δύο εξισώσεων έχει λύσεις τις \((x=1 ,y=3)\) και \((x=3, y=3)\)

και το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

\(E=\int_{1}^3[4x-x^2-(x^2-4x+6)]dx=...=\dfrac{8}{3}\)