Μαθηματικά Θέματα
Περιεχόμενα
0.1 Συστήματα Αρίθμησης
Οι αριθμοί και τα συστήματα αρίθμησης είναι ανθρώπινες παραδοχές. Από την αρχαιότητα ο άνθρωπος ήθελε να ̈μετρήσει ̈, για να ικανοποιήσει καθημερινές του ανάγκες.
Η μέτρηση αυτή οδήγησε στη δημιουργία αριθμητικών συστημάτων, που στην ουσία αποτελούσαν και αντιπροσώπευαν απεικονίσεις - αντιστοιχίες των αντικειμένων του περιβάλλοντος χώρου, με σύμβολα που μπορούσαν να καταγραφούν σε κάποιο μέσο να είναι κοινά αποδεκτά και να αποθηκευτούν.
Με το πέρασμα των αιώνων και μελετώντας αυτά τα σύμβολα, διαπίστωσαν κάποιες ιδιότητες αυτών και κάποιες σχέσεις μεταξύ τους, οι οποίες για πρώτη φορά απέκτησαν συγκεκριμένη μορφή και μαθηματική οντότητα στα Στοιχεία του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ.
Η αριθμοθεωρία ή θεωρία αριθμών, γεννήθηκε και μπήκε στην εφηβεία της με τη συγγραφή του V II βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη.
Ευτυχώς για το έργο των Ελλήνων αλλά και τον παγκόσμιο πολιτισμό, μετά την επικράτηση της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας και ιδιαίτερα του σκοταδισμού των πρώτων Χριστιανικών αιώνων και της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, συνέχισαν το έργο τους και διατήρησαν τις γνώσεις αυτές οι ́Αραβες, εξελίσσοντας τις βασικές αυτές μαθηματικές έννοιες, μέχρι την Αναγέννηση, οπότε και η θεωρία αριθμών απέκτησε τη σημερινή της αίγλη.
Κορυφαίοι Μαθηματικοί, μέχρι και τα τέλη του εικοστού αιώνα, προώθησαν την αριθμοθεωρία σε αρκετά υψηλό επίπεδο. Μεταξύ αυτών θα πρέπει να μνημονεύσουμε τους Fibonacci, P. Fermat, H. Abel, L. Euler, C.D. Gauss, A. Legendre, G. Riemann, P. Erdos, G. Hardy, J. Littlewood, S. Ramanujan, J.R. Chen, I. Vinogradov, A. Wiles κ.α. Η αναφορά στον τελευταίο, καθηγητή του Princeton, γίνεται αφού στα 1996 έδωσε ολοκληρωμένη απόδειξη στο για αιώνες άλυτο πρόβλημα του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.
Η Θεωρία Αριθμών λοιπόν, ο αρχαιότερος κλάδος των Μαθηματικών, ασχολείται με τη μελέτη των ακεραίων αριθμών. Οι ακέραιοι αριθμοί είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών \(1, 2, 3, ...\) κλπ, στους οποίους έχουμε προσθέσει το μηδέν (0) και τους αρνητικούς των φυσικών αριθμών δηλαδή τους \(−1, −2, −3,...\) κλπ.
Από αρχαιοτάτων χρόνων, ο άνθρωπος, γοητευόταν από την μαγεία και τον μυστικισμό των ιδιοτήτων των αριθμών. Είναι αυτές οι ιδιότητες των αριθμών, που οδήγησαν πολλούς μαθηματικούς αλλά και μή μαθηματικούς, να αφιερώσουν σημαντική ενέργεια και χρόνο, στη μελέτη τους. Το αποτέλεσμα είναι η ανάπτυξη μιας όμορφης και δυναμικής θεωρίας, που σκοπός της είναι να δίνει απαντήσεις σε ερωτήματα σχετικά με τους ακέραιους.
Σκοπός μας εδώ, είναι να μελετήσουμε τις στοιχειώδης όψεις από πολλές μαθηματικές τεχνικές που προσφέρουν οι μέχρι σήμερα ανακαλύψεις στον κλάδο αυτό. Βασικής σημασίας στη μελέτη αυτή, είναι η έννοια των πρώτων αριθμών.
Ενας αριθμός ονομάζεται πρώτος όταν διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Οι πρώτοι αριθμοί ξεκινούν από το \(2\). Οι πρώτοι αριθμοί από το μηδέν έως το δέκα είναι οι \(2, 3, 5, 7\) και όπως απέδειξε ο Ευκλείδης όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος. Μια από τις αρχαιότερες κατασκευές είναι αυτή του ορθογωνίου τριγώνου, με πλευρές φυσικούς αριθμούς. Αν \(a, b, c\) , είναι οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε όπως ξέρουμε ισχύει η σχέση \(a^2 + b^2 = c^2\) .
Κάθε τριάδα αριθμών \(a, b, c\) που ικανοποιεί αυτή τη σχέση, ονομάζεται Πυθαγόρεια τριάδα. Παραθέτω μερικές Πυθαγόρειες τριάδες :
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 7 | 24 | 25 |
| 8 | 15 | 17 |
| 9 | 40 | 41 |
Ενα από τα αρχαιότερα επιτεύγματα της θεωρίας αριθμών είναι η πλήρης περιγραφή των Πυθαγόρειων τριάδων από τους αρχαίους ́Ελληνες Μαθηματικούς. Με την περιγραφή αυτή βλέπουμε ότι οι ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει η υποτείνουσα, είναι πάντα πολλαπλάσιο του αθροίσματος δύο τετραγώνων. Για παράδειγμα \(5 = 2^2 + 1^2\) , ή \(13 = 3^2 + 2^2\) , κλπ, ενώ το \(7\) ή το \(11\) δεν μπορούν να είναι τιμές υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες κάθετες πλευρές, γιατί δεν μπορούν να παρασταθούν σαν άθροισμα δυό ακεραίων τετραγώνων ή πολλαπλάσιου τους.
Ο Pierre de Fermat ένας από τους μεγάλους εραστές της Θεωρίας Αριθμών, (ερασιτέχνης μαθηματικός), όρισε ποιοί ακέραιοι είναι δυνατό να είναι μεγέθη υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου. Απέδειξε ότι πρώτοι αριθμοί της μορφής \(4k + 1\), μπορούν να είναι μεγέθη υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου, ενώ οι πρώτοι αριθμοί της μορφής \(4k + 3\), δεν μπορούν ποτέ να είναι μεγέθη υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες τιμές κάθετων πλευρών, \((k = 1, 2, ...)\).
́Ενα άλλο θέμα που απασχόλησε από την αρχαιότητα τους μαθηματικούς, ήταν οι αριθμοί που προκύπτουν από γεωμετρικά σχήματα. Για παράδειγμα οι τριγωνικοί αριθμοί είναι οι \(1, 3, 6, 10, 15...,\) ενώ οι τετράγωνοι είναι οι \(1, 4, 9, 16, 25,...\). Οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν από το πλήθος από τελείες με τις οποίες μπορούμε να φτιάξουμε το αντίστοιχο επίπεδο σχήμα. Αλλά όλα αυτά και άλλα ακόμα πιο ενδιαφέροντα θα συναντήσουμε κατά την ανάπτυξη του βιβλίου αυτού.
0.2 Βασικές Αλγεβρικές ́Εννοιες
Στην συνέχεια θα κάνουμε μια ταξινόμηση των αριθμών, που στην ουσία γνωρίζουμε από τα πρώτα μαθητικά μας χρόνια. Θα τους εντάξουμε σε ευρύτερες οικογένειες συνόλων, καθορίζοντας τις βασικές ιδιότητες τους.
Ξεκινάμε από τους φυσικούς αριθμούς, που συμβολίζονται με το N και είναι οι γνωστοί μας 1, 2, 3, 4, .... ∆ηλαδή N = {1, 2, 3,...}.
Οι ανθρώπινες ανάγκες και η μαθηματική σκέψη, οδήγησαν στην δημιουργία των αρνητικών αριθμών και του μηδενός, κι έτσι φτιάχτηκαν οι ακέραιοι αριθμοί, που συμβολίζονται με το Z και είναι: Z = {...,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Στο σύνολο αυτό οι μαθηματικοί πρόσθεσαν και τα κλάσματα, κι έτσι φτιάχτηκε το σύνολο των ρητών αριθμών, που συμβολίζονται με το Q.
Ορισμός 1. ́Εστω σύνολο G \(\neq \emptyset \) και μιά πράξη στα στοιχεία του, που συμβολίζουμε με *, ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: