admin – Σελίδα 2 – Μαθηματικά και Άλλα

Η σειρά αριθμών του Fibonacci.

Η σειρά Fibonacci κατασκευάζεται αν πάρουμε σαν πρώτο στοιχείο της το μηδέν, δεύτερο στοιχείο το ένα, και απο κει και πέρα το κάθε επόμενο στοιχείο, είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Έτσι αν βαφτίσουμε τους όρους της ακολουθίας με \(F_n\) όπου το \(n\) παίρνει τις τιμές \(0,1,2,3…\) των φυσικών αριθμών, θα είναι \[F_0=0, F_1=1, F_2=0+1=1, F_3=1+1=2, F_4=2+1=3 … κ.ο.κ\]
Η σειρά αυτή έχει πολλές ιδιότητες που την κάνουν πολύ σημαντική, παρά το ότι δεν της φαίνεται. Η φήμη της παρά το ότι ο Fibonacci την όρισε τον 13ο αιώνα, άρχισε 3 αιώνες μετά, όταν πρώτος ο Κέπλερ έγραψε το 1611 σε μια δημοσίευση του, ότι “σχεδόν ο λόγος του 5 με το 8, είναι ίδιος με το λόγο του 8 με το 13 και ο ίδιος με του 13 με το 21”.

Τον 18ο αιώνα ένας Γάλλος μαθηματικός, ο Jacques-Philippe Mari Binet βρήκε έναν τύπο υπολογισμού οποιουδήποτε αριθμού Fibonacci, αν γνωρίζουμε τη θέση του στην ακολουθία. Αυτό και άλλες ιδιότητες της ακολουθίας αυτής θα αναλύσουμε σε επόμενες δημοσιεύσεις. Εδώ θα αρκεστούμε σε μια ιδιότητα που χρησιμεύει στην κατασκευή αντικειμένων που χρησιμοποιούμε καθημερινά για να γίνουν πιο ελκυστικά στο μάτι μας.

Φαίνεται ότι υπάρχει μια οπτικά ευχάριστη αίσθηση στο αμθρώπινο μάτι, όταν οι διαστάσεις ενός αντικειμένου, όπως π.χ. οι επαγγελματικές κάρτες, έχουν διαστάσεις 3 προς 5, ή τα διαφημιστικά φυλλάδια 5 προς 8. Αντίστοιχες αναλογίες έχουν τα χαρτιά της τράπουλας, τα τετράδια, τα παράθυρα των σπιτιών, πιστωτικές και χρεωστικές κάρτες, κινητά τηλέφωνα και χιλιάδες αντικείμενα που χρησιμοποιούμε καθημερινά.

Οι αριθμοί της σειράς Fibonacci παρουσιάζονται σε πολλά καθημερινά αντικείμενα, το ανθρώπινο σώμα, ο σταυρός που φοράμαι σαν κόσμημα, το πρόσωπο μας, το χέρι μας, θέματα που ανέλυσε ο αρχιτέκτονας \(Le Corbusier\), πίνακες μεγάλων ζωγράφων κλπ.

Αν πάρουμε τον λόγο δύο συνεχόμενων αριθμών της σειράς, με αριθμητή τον μικρότερο και παρονομαστή τον μεγαλύτερο, θα έχουμε αποτέλεσμα έναν αριθμό που όσο μεγαλύτεροι είναι οι όροι τόσο προσεγγίζουν άνω, κάτω, στον χρυσό λόγο. \[\dfrac{2}{3}=0,666 \quad \dfrac{5}{8}=0,625 \quad \dfrac{8}{13}=0,615 \quad \dfrac{13}{21}=0,619…\]

Ο χρυσός λόγος \(x\) δίνεται από την αναλογία \[\dfrac{x}{1}=\dfrac{1}{x+1} \Rightarrow x(x+1)=1\Rightarrow x^2+x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=0,618.\] όπου η αρνητική ρίζα απορρίπτεται αφού μιλάμε για θετικές αποστάσεις.

Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε το χρυσό ορθογώνιο, τότε η μικρή πλευρά του ορθογωνίου είναι μήκους \(s\) και η μεγάλη πλευρά \(L\), η αναλογία μπορεί να παρασταθεί μαθηματικά ως εξής: \(\dfrac{s}{L}=\dfrac{L}{s+L}\) . Αν αυτό σας θυμίζει κάτι, είναι βέβαιο ότι οι περισσότεροι μεγάλοι ζωγράφοι και αρχιτέκτονες δούλευαν πάνω σ’ αυτήν την αναλογία…

Η “ψευδαίσθηση” του χρόνου

Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αλλά και προβληματικά θέματα στη θεωρητική φυσική αποτελεί και η ψευδαίσθηση του χρόνου. Αν δηλαδή υπάρχει ο χρόνος όπως τον ζούμε καθημερινά, ή αν είναι ανθρώπινη φαντασίωση άρρηκτα συνδεδεμένη με την ύπαρξη μας.
Ας το δούμε βήμα βήμα:

1. Στην “Κλασσική” Κβαντική Μηχανική ο Χρόνος Είναι Απόλυτος

Στην κβαντική μηχανική, όπως διατυπώθηκε από τον Schrödinger, ο χρόνος δεν είναι ένα δυναμικό μέγεθος που μετράμε, αλλά μια παράμετρος εξωτερική προς το σύστημα.

Στην εξίσωση Schrödinger \( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi \), ο χρόνος (\(t\)) εμφανίζεται ως παράμετρος στην παράγωγο.

Ο χρόνος παίζει το ρόλο του “σκηνοθέτη” της εξέλιξης, και όχι ενός “ηθοποιού” στο έργο. Δεν υπάρχει τελεστής για το χρόνο, όπως υπάρχει για τη θέση ενός σώματος (\( \hat{x} \)) ή την ορμή (\( \hat{p} \)) του.

Αυτή η θεώρηση του χρόνου είναι η ίδια με αυτήν του Νεύτωνα – μια απόλυτη ροή που είναι ανεξάρτητη από τα κβαντικά συστήματα.
Συμπέρασμα για αυτό το στάδιο: Ο χρόνος δεν εξαφανίζεται, αλλά παίζει τον ρόλο μιας απλής παραμέτρου.

2. Στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου: Ο Χρόνος Παραμένει Παράμετρος

Η Κβαντική Θεωρία Πεδίου, που συνδυάζει την ειδική σχετικότητα με την κβαντική μηχανική, χρησιμοποιεί τον χωροχρόνο του Minkowski. Ο χρόνος εδώ είναι μια από τις τέσσερις διαστάσεις, αλλά και πάλι λειτουργεί ως μια παράμετρος υπόβαθρου, όχι ως ένα δυναμικό κβαντικό πεδίο.

3. Το Πραγματικό Πρόβλημα: Η Κβαντική Βαρύτητα

Εδώ είναι που τα πράγματα γίνονται πραγματικά περίπλοκα και εμφανίζεται η ιδέα ότι ο χρόνος μπορεί να “εξαφανιστεί”.

Όταν προσπαθούμε να κβαντώσουμε τη βαρύτητα (π.χ., στη **Βαθμωτή Κβαντική Βαρύτητα** ή στην **Κβαντική Κοσμολογία**), εφαρμόζουμε τις αρχές της κβαντικής μηχανικής σε ολόκληρο το Σύμπαν. Σε αυτές τις θεωρίες, η μετρική του χωροχρόνου (που περιλαμβάνει και το χρόνο) γίνεται ένα κβαντικό αντικείμενο.

Το κύριο πρόβλημα είναι η εξίσωση Wheeler-DeWitt:

Αυτή είναι μια θεμελιώδης εξίσωση στην προσέγγιση της Κβαντικής Βαρύτητας. Σε μια απλοποιημένη μορφή, μοιάζει με:

\[ \hat{H} \Psi [g] = 0\]

όπου:

* \( \Psi[g] \) είναι η “κυματοσυνάρτηση του Σύμπαντος”.

* \( \hat{H} \) είναι ο χαμιλτονιανός τελεστής που δημιουργεί χρονικές μετατοπίσεις.

Η εξίσωση αυτή λέει ότι η ολική ενέργεια-ορμή του Σύμπαντος είναι ΜΗΔΕΝ.

Αυτό έχει μια τεράστια συνέπεια: δεν υπάρχει κανένας εξωτερικός χρόνος να παραμετροποιήσει την εξέλιξη.

Η κυματοσυνάρτηση \( \Psi \) περιγράφει όλες τις πιθανές γεωμετρίες του Σύμπαντος ταυτόχρονα, αλλά χωρίς να υπάρχει η έννοια του “πριν” ή “μετά”. Ο χρόνος, ως ξεχωριστή οντότητα, φαίνεται να έχει εξαφανιστεί από τη θεμελιώδη περιγραφή.

Αυτό είναι γνωστό ως “το πρόβλημα του χρόνου” (The Problem of Time) στην κβαντική βαρύτητα.

4. Πώς Εμφανίζεται Ο Χρόνος που Βιώνουμε;

Αν ο χρόνος εξαφανίζεται από τις θεμελιώδεις εξισώσεις, γιατί εμείς βιώνουμε μια ξεκάθαρη ροή του χρόνου;

Οι κύριες προτάσεις για την ανάκτηση του χρόνου είναι:

Ο Χρόνος ως Εmergent Φαινόμενο: Η ιδέα είναι ότι ο χρόνος δεν είναι θεμελιώδης, αλλά προκύπτει από μια πιο βαθιά, αχρονολογημένη πραγματικότητα. Όπως η “θερμοκρασία” προκύπτει από τη μικροσκοπική κίνηση ατόμων (τα οποία δεν έχουν θερμοκρασία), έτσι και ο χρόνος μπορεί να προκύψει από κάποια άλλη θεμελιώδη ιδιότητα.
Σχεσιακή Χρονική Εξέλιξη (Relational Evolution): Σε αυτήν την άποψη, η αλλαγή είναι πραγματική, αλλά είναι σχετική μεταξύ των διαφορετικών μερών του Σύμπαντος. Για παράδειγμα, δεν λέμε “το σωματίδιο αλλάζει με το χρόνο”, αλλά “η θέση του σωματιδίου αλλάζει σε σχέση με τη θέση των δεικτών του ρολογιού”. Το “ρολόι” μπορεί να είναι οποιοδήποτε άλλο φυσικό σύστημα μέσα στο Σύμπαν.

Συμπέρασμα

Σε επίπεδο μικροσκοπικών σωματιδίων (κβαντική μηχανική): Ο χρόνος δεν εξαφανίζεται. Παραμένει μια εξωτερική παράμετρος.

Σε ένα θεμελιώδες επίπεδο (κβαντική βαρύτητα / κοσμολογία): Υπάρχει ένα ισχυρό επιχείρημα ότι ο χρόνος “εξαφανίζεται” από τις πιο βασικές εξισώσεις. Αυτό δημιουργεί το “πρόβλημα του χρόνου”.

Στο επίπεδο που βιώνουμε: Ο χρόνος είναι μια πολύ πραγματική ψευδαίσθηση (ή ένα “emerging” φαινόμενο) που προκύπτει είτε από τη σχέση μεταξύ κβαντικών γεγονότων, είτε από τον τρόπο με τον οποίο η συνείδησή μας αντιλαμβάνεται την αλλαγή.

Ένα αξιόλογο βιβλίο για το θέμα, εκλαϊκευμένο (όσον είναι δυνατόν), είναι του καθ. Carlo Rovelli, “Η τάξη του Χρόνου”.

Μαθηματικά Σχετικότητας-Κβαντικής

Οι θεμελιώδεις μαθηματικές εξισώσεις που διέπουν τη Γενική Σχετικότητα είναι οι \(\textbf{Εξισώσεις Πεδίου του Αϊνστάιν}\), \( ( Einstein\; Field\; Equations)\).

Μπορούν να γραφτούν σε μια πολύ συμπαγή μορφή ως: \[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

Ας αναλύσουμε τι σημαίνει κάθε κομμάτι αυτής της εξίσωσης, η οποία συνδέει τη γεωμετρία του χωροχρόνου με την ύλη και την ενέργεια που περιέχει.

Ανάλυση των Συνιστωσών:
\( G_{\mu \nu} \) – Τανυστής του Αϊνστάιν \( (Einstein\; Tensor)\:\)

Αυτός περιγράφει την καμπυλότητα του χωροχρόνου. Είναι ένας συνδυασμός του Τανυστή \(Riemann\) και του Τανυστή \(Ricci\). Ουσιαστικά, μας λέει πώς καμπυλώνεται ο χωροχρόνος λόγω της παρουσίας μάζας και ενέργειας.

\( g_{\mu\nu} \) – Μετρικός Τανυστής \((Metric\; Tensor)\):

Αυτός είναι ο ορισμός της γεωμετρίας του χωροχρόνου. Καθορίζει πώς μετράμε αποστάσεις και χρονικά διαστήματα. Είναι η λύση των εξισώσεων που αναζητούμε. Για έναν “επίπεδο” χωροχρόνο (χωρίς βαρύτητα), αυτός ο τανυστής αντιστοιχεί στην μετρική του Minkowski.

Η \( \Lambda \) είναι Κοσμολογική Σταθερά ((Cosmological Constant)):

Μια σταθερά που εισήγαγε αργότερα ο Αϊνστάιν και σήμερα πιστεύουμε ότι σχετίζεται με τη σκοτεινή ενέργεια, που προκαλεί την επιταχυνόμενη διαστολή του Σύμπαντος. Αν \( \Lambda = 0 \), αγνοούμε αυτή την επίδραση.

\( T_{\mu \nu} \) – Τανυστής Ενέργειας-Ορμής ((Stress-Energy Tensor)):

Αυτός περιγράφει την πυκνότητα και τη ροή της μάζας, της ενέργειας και της ορμής στο Σύμπαν. Είναι η “πηγή” του βαρυτικού πεδίου. Για παράδειγμα, σε ένα απλό ρευστό, περιέχει πληροφορίες για την πυκνότητα, την πίεση και την ταχύτητά του.

\( G \) – Σταθερά της Βαρύτητας του Νεύτωνα ((Gravitational Constant)):

Η ίδια θεμελιώδης σταθερά που εμφανίζεται στον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα.

\( c \) – Η ταχύτητα του φωτός στο κενό:

Η παρουσία αυτής της σταθεράς εξασφαλίζει ότι οι εξισώσεις είναι συνεπείς με την ειδική σχετικότητα και ότι η βαρύτητα διαδίδεται με την ταχύτητα του φωτός. Ο παρονομαστής \( c^4 \) είναι εξαιρετικά μικρός, γεγονός που σημαίνει ότι ακόμη και τεράστιες ποσότητες ενέργειας \(( T_{\mu \nu} )\) προκαλούν μια πολύ μικρή καμπυλότητα \(( G_{\mu \nu} )\) — αυτός είναι ο λόγος που η βαρύτητα είναι η ασθενέστερη από τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις.

Οι δείκτες \( \mu \) και \( \nu \):

Λαμβάνουν τιμές από 0 έως 3 (0 για τη χρονική διάσταση και 1,2,3 για τις χωρικές διαστάσεις). Αυτό σημαίνει ότι η απλή εξίσωση που βλέπουμε είναι στην πραγματικότητα μια σύνοψη 16 συζευγμένων, μη γραμμικών, μερικών διαφορικών εξισώσεων (10 από τις οποίες είναι ανεξάρτητες λόγω συμμετριών).

Ερμηνεία της Εξίσωσης

Με απλά λόγια, η εξίσωση λέει:

“Η καμπυλότητα του χωροχρόνου (αριστερή πλευρά) καθορίζεται από την περιεχόμενη ύλη και ενέργεια (δεξιά πλευρά).”

Η Γενική Σχετικότητα σε μία πρόταση: “Η ύλη λέει στον χωροχρόνο πώς να καμπυλωθεί, και ο καμπύλος χωροχρόνος λέει στην ύλη πώς να κινηθεί.”

Το πρώτο μισό αυτής της φράσης περιγράφεται από τις Εξισώσεις Πεδίου του Αϊνστάιν.
Το δεύτερο μισό περιγράφεται από τη γεωδαισιακή εξίσωση, η οποία προκύπτει από τις Εξισώσεις Πεδίου και περιγράφει πώς κινείται ένα σωματίδιο σε έναν καμπύλο χωροχρόνο.

Σημασία και Εφαρμογές

Οι Εξισώσεις Πεδίου του Αϊνστάιν είναι εξαιρετικά περίπλοκες, αλλά έχουν οδηγήσει σε απίστευτες προβλέψεις που έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά, όπως:

Η κάμψη του φωτός από βαρυτικά πεδία (βαρυτικός φακός).
Η μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή.
Η ύπαρξη μαύρων τρυπών.
Η ύπαρξη βαρυτικών κυμάτων.
Η επιβράδυνση του χρόνου σε ισχυρά βαρυτικά πεδία (π.χ. GPS δορυφόροι).

Εν συντομία, αυτή η μαθηματική εξίσωση είναι ο πυρήνας της σύγχρονης κατανόησής μας για τη βαρύτητα και το Σύμπαν σε κοσμικές κλίμακες.

Κβαντικά

Στην κβαντική μηχανική τα πράγματα δεν είναι τόσο “απλά”. Δεν υπάρχει δηλαδή, μία μόνο εξίσωση που να παίζει τον ρόλο των Εξισώσεων Πεδίου του Αϊνστάιν.

Αντίθετα, η κβαντική μηχανική βασίζεται σε ένα πλαίσιο ή ένα σύνολο από θεμελιώδεις αρχές, και διαφορετικές εξισώσεις περιγράφουν διαφορετικές πτυχές ή “εικόνες” αυτού του πλαισίου.

Ωστόσο, αν πρέπει να επιλεγεί μία εξίσωση που είναι το αντίστοιχο “σύμβολο” της κβαντικής μηχανικής, αυτή είναι η Εξίσωση \(Schr\ddot{o}dinger\).

Η Εξίσωση \(Schr\ddot{o}dinger\): Η Πιο Διάσημη Εξίσωση

Αυτή περιγράφει πώς αλλάζει με το χρόνο η κυματοσυνάρτηση \(( \Psi )\) ενός κβαντικού συστήματος.

Εξίσωση \(Schr\ddot{o}dinger\) (εξάρτηση από το χρόνο):
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)
\]

Ανάλυση:

\( \Psi(\mathbf{r}, t) \): Η κυματοσυνάρτηση, που περιέχει όλες τις πληροφορίες για την κατάσταση του συστήματος.
\( \hat{H} \): Ο Τελεστής της Χαμιλτονιανής, που αντιπροσωπεύει τη συνολική ενέργεια του συστήματος.
\( i \): Η φανταστική μονάδα \(( i^2 = -1 )\), που δείχνει την εγγενή “κυματική” φύση των σωματιδίων.
\( \hbar \): Η σταθερά του Planck \((h)\) διαιρεμένη με \(2\pi\), η θεμελιώδης σταθερά της κβαντικής μηχανικής.

Σε απλά λόγια, η εξίσωση αυτή λέει: “Ο τρόπος με τον οποίο η κυματοσυνάρτηση αλλάζει στο χρόνο καθορίζεται από την ενέργεια του συστήματος.”

Το Θεμελιώδες Πλαίσιο: Τα Αξιώματα της Κβαντικής Μηχανικής

Για να κατανοήσουμε πραγματικά την κβαντική μηχανική, πρέπει να δούμε το πλαίσιο που βασίζεται σε κάποιους θεμελιώδεις κανόνες (αξιώματα):

Κατάσταση ενός Συστήματος: Περιγράφεται από ένα διάνυσμα (την “κατάσταση”) σε έναν αφηρημένο μαθηματικό χώρο που ονομάζεται Χώρος (Hilbert).
Παρατηρήσιμα Μεγέθη: Φυσικά μεγέθη όπως η θέση, η ορμή και η ενέργεια αντιπροσωπεύονται από ερμιτιανούς τελεστές που δρουν σε αυτόν τον χώρο.
Η Αρχή της Υπέρθεσης: Εάν μια κατάσταση \( |A\rangle \) και μια κατάσταση \( |B\rangle \) είναι δυνατές, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους \( \alpha|A\rangle + \beta|B\rangle \) είναι επίσης μια δυνατή κατάσταση. Αυτή είναι η βάση του “παραδόξου” της κβαντικής μηχανικής.
Η Εξίσωση Κίνησης: Ορίζει πώς εξελίσσονται οι καταστάσεις με το χρόνο. Αυτή είναι συχνά η Εξίσωση Schrödinger.
Κανόνας της Μέτρησης (Αποτύπωση): Όταν μετράμε ένα παρατηρήσιμο μέγεθος, η κυματοσυνάρτηση “καταρρέει” σε μία από τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή, και το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή. Η πιθανότητα να λάβουμε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα δίνεται από το τετράγωνο του μέτρου του πλάτους πιθανότητας (για παράδειγμα, \( |\Psi|^2 )\).

Άλλες Κρίσιμες Εξισώσεις και Αρχές

Ανισότητα (Heisenberg):
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
Αυτή η ανισότητα (όχι ακριβής εξίσωση) δηλώνει ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια τη θέση \((x)\) και την ορμή \((p)\) ενός σωματιδίου. Αυτή είναι μια θεμελιώδης ιδιότητα του Σύμπαντος, όχι ένα όριο των οργάνων μας.
Εξίσωση (Klein-Gordon-Dirac): Αυτές είναι γενικεύσεις της εξίσωσης \(Schr\ddot{o}dinger\) που είναι συμβατές με τη Ειδική Σχετικότητα. Η εξίσωση (Dirac), συγκεκριμένα, προέβλεψε με επιτυχία την ύπαρξη της αντιύλης.

Σύγκριση με τη Γενική Σχετικότητα

Η διαφορά μεταξύ των δύο θεωριών είναι ενδεικτική:

Γενική Σχετικότητα	Κβαντική Μηχανική
Μία κεντρική εξίσωση (Εξισώσεις Πεδίου)	Ένα πλαίσιο αξιωμάτων (πολλές εξισώσεις)
Ντετερμινιστική (δεδομένων αρχικών συνθηκών, όλα καθορίζονται)	Πιθανοτική (μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο πιθανότητες)
Περιγράφει το συνεχές (χωροχρόνος)	Περιγράφει το διακριτό (κβαντικές μεταπτώσεις, ενέργεια)

Συμπέρασμα:

Η Εξίσωση \(Schr\ddot{o}dinger\) είναι η πιο διάσημη και συμβολική εξίσωση της κβαντικής μηχανικής. Ωστόσο, η πλήρης θεωρία βασίζεται σε ένα βαθύτερο πλαίσιο αξιωμάτων που εισάγει ριζοσπαστικές έννοιες όπως η υπέρθεση, η πιθανότητα και η αβεβαιότητα, οι οποίες αλλάζουν τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τη φύση της πραγματικότητας στην κλίμακα των ατόμων και των υποατομικών σωματιδίων.

Πυθαγόρεια…

Μια σημαντική Διοφαντική εξίσωση είναι και η \(x^n+y^n=z^n\), όπου \(x, y, z\) οι άγνωστοι και \(n\) φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1. Την λέμε σημαντική, γιατί ενώ για \(n=2\) έχει άπειρες λύσης στους ρητούς αριθμούς, αφού είναι η εξίσωση που διέπει τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Πυθαγόρειο θεώρημα), για \(n>2\), οι μαθηματικοί έχυσαν πολύ μελάνι αλλά και χρόνο, για να αποδείξουν ότι δεν έχει λύσεις στο σύνολο των ρητών αριθμών.

Το 1996 μετά από δεκαετή μυστική προσπάθεια ο καθ. \(Andrew \; Wiles\) έδωσε την απόδειξη και κέρδισε το βραβείο Fields. Είναι το περιβόητο “Τελευταίο Θεώρημα του \(Fermat.\)” Βασικό του εργαλείο η θεωρία ελλειπτικών καμπυλών που δεν έχει σχέση με ελλείψεις…

Βέβαια έδωσα τίτλο “Πυθαγόρεια”, ενώ για όσα είπα παραπάνω εμπλέκονται ο Διόφαντος και ο \(Fermat\). Γι αυτό ας γυρίσουμε στον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ως γνωστό, για \(n=2\) έχουμε την εξίσωση που διέπει τα ορθογώνια τρίγωνα. Για την συγκεκριμμένη εξίσωση υπάρχουν άπειρες λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Μια βασική λύση είναι για παράδειγμα η \(3,4,5\) όπου οι δυο πρώτοι αριθμοί είναι τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και ο τρίτος είναι το μήκος της υποτείνουσας του.
Το γιατί είναι άπειρες οι ακέραιες λύσεις της \(x^2+y^2=z^2\), είναι πολύ απλό, αφού αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της τριάδας \(3,4,5\) με οποιονδήποτε ακέραιο, θα πάρουμε πάλι Πυθαγόρεια τριάδα αριθμών δηλαδή αριθμών που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αυτή η τριάδα που παράγει με έναν απλό πολλαπλασιασμό με ακέραιο, άλλες τριάδες ονομάζεται πρωτογενής. Η έρευνα λοιπόν και το ενδιαφέρον για Πυθαγόρειες τριάδες ασχολείται με την εύρεση των πρωτογενών τριάδων, ζήτημα που απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες. Ήδη από την εποχή εκείνη ήταν γνωστή η μέθοδος εύρεσης των τριάδων αυτών για τους Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Διόφαντο και άλλους.
Σύμφωνα με την απλή αυτή μέθοδο, παίρνουμε δυό θετικούς ακέραιους \(a, b\) με \(a >b\), και \((a,b)=1\), δηλαδή πρώτους προς αλλήλους και φέρνουμε την ευθεία γραμμή από το σημείο \((-1,0)\) με κλίση \(b/a\), που τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο κέντρου \((0,0)\), στο σημείο \((u,v)\). Είναι εύκολο να δείξουμε ότι \[u=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\quad v=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.\]
Είναι προφανές ότι οι ακέραιοι \(x=a^2-b^2, y=2ab, z=a^2+b^2\) αποτελούν μια Πυθαγόρεια τριάδα, αφού \(u^2+v^2=1.\) (Σχήμα).
Οι πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το \(1\), είναι δηλαδή οι αριθμοί των τριάδων αυτών, πρώτοι προς αλλήλους.

Βλέπουμε λοιπόν ότι βάζοντας θετικούς ακέραιους σαν τιμές των \(a\) και \(b\) που είναι πρώτοι προς αλλήλους, παίρνουμε όλες τις δυνατές πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες.

Αναξίμανδρος 1.

Στη Μίλητο, στις αρχές του 6ου αιώνα π.Χ., ο Θαλής, ο μαθητής του Αναξίμανδρος, ο Εκαταίος και η σχολή τους ανακαλύπτουν έναν άλλο τρόπο να αναζητήσουν απαντήσεις. Ένας τρόπος που δεν αναφέρεται σε μύθους, πνεύματα και θεούς, αλλά αναζητά απαντήσεις στην ίδια τη φύση των πραγμάτων. Αυτή η τεράστια επανάσταση της σκέψης εγκαινιάζει έναν νέο τρόπο γνώσης και σηματοδοτεί την πρώτη αυγή της επιστημονικής σκέψης.
Οι Μιλήσιοι κατανοούν ότι χρησιμοποιώντας προσεκτικά την παρατήρηση και τη λογική, αποφεύγοντας να αναζητούμε απαντήσεις στη φαντασία, στους αρχαίους μύθους και στη θρησκεία, και κυρίως χρησιμοποιώντας προσεκτικά την κριτική σκέψη, μπορούμε να διορθώσουμε επανειλημμένα την άποψή μας για τον κόσμο, ανακαλύπτοντας πτυχές της πραγματικότητας που παραμένουν αόρατες σε ένα κοινό βλέμμα και δίνοντας απαντήσεις σε φαινόμενα φυσικά.
Ίσως η αποφασιστική ανακάλυψη είναι αυτή ενός νέου στυλ σκέψης, όπου ο μαθητής δεν είναι πλέον υποχρεωμένος να σέβεται και να μοιράζεται τις ιδέες του Δασκάλου, αλλά μπορεί να βασιστεί σε αυτές τις ιδέες χωρίς να διστάσει να απορρίψει και να επικρίνει τα μέρη που πιστεύει ότι μπορούν να βελτιωθούν.
Αυτός ο τρίτος δρόμος, ισορροπημένος μεταξύ της προσκόλλησης σε ένα σχολείο και της κριτικής αντίθεσης σε αυτό, είναι ο θεμέλιος λίθος που ανοίγει την τεράστια ανάπτυξη της φιλοσοφικής και επιστημονικής σκέψης που ακολουθεί: από αυτή τη στιγμή η γνώση αρχίζει να μεγαλώνει ιλιγγιωδώς, αξιοποιώντας τη γνώση του παρελθόντος αλλά και κριτικάροντας την, ώστε να βελτιωθεί αυτή η γνώση. Η εκθαμβωτική αρχή του ιστορικού βιβλίου του λαογράφου Εκαταίου του Μιλήσιου, αιχμαλωτίζει την καρδιά της κριτικής σκέψης, συμπεριλαμβανομένης της επίγνωσης του λάθους κάποιου: «Γράφω πράγματα που μου φαίνονται αληθινά. γιατί οι ιστορίες των Ελλήνων μου φαίνονται γεμάτες αντιφάσεις και γελοίες».
“Εκαταίος Μιλήσιος ώδε μυθείται. τάδε γράφω, ως μοι δοκεί αληθέα είναι. οι γαρ Ελλήνων λόγοι πολλοί τε και γελοίοι, ως εμοί φαίνονται, εισίν.”
Γράφει ο Εκαταίος: “Ο θρύλος λέει ότι ο Ηρακλής κατεβαίνει στον Άδη από το ακρωτήριο Ταίναρο”. Ο Εκαταίος επισκέπτεται το ακρωτήριο Ταίναρο, επαληθεύει ότι δεν υπάρχει υπόγειος δρόμος και δεν υπάρχει είσοδος στον Άδη εκεί και επομένως κρίνει ότι ο θρύλος είναι ψευδής. Αυτή είναι η αυγή μιας νέας εποχής.
Σε άλλη αναφορά του ο Εκαταίος, λέει ότι η ιστορία κατά την οποία ο Ηρακλής πήγε με εντολή Ευρυσθέα στην Ιβηρική για να κλέψει τα βόδια του Γηρυόνη, και να τα φέρει στο Άργος, θεωρεί αδύνατον ο Ευρυσθέας να γνώριζε Βασιλιά σε τόσο μακρινή χώρα και υποθέτει ότι αν η ιστορία είναι αληθής, ο Γηρυόνης θα ήταν βασιλιάς κάποιας περιοχής της Δυτικής Ελλάδας, όπου υπάρχει ανεπτυγμένη κτηνοτροφία.
Άρχισε με τον τρόπο αυτό η αμφισβήτηση των ιστοριών που μετεδίδοντο από γενεά σε γενεά, και γεννήθηκε ο ορθολογισμός.
Με αυτήν την προσέγγιση στη σκέψη, ο Αναξίμανδρος, προχώρησε στη λογική ότι η Γη επιπλέει στον ουρανό και αυτός ο ουρανός την περιβάλλει, χωρίς να στηρίζεται πουθενά, ότι το νερό της βροχής προέρχεται από την εξάτμιση του νερού της θάλασσας και των ποταμών, ότι η ποικιλία των ουσιών στον κόσμο πρέπει να μπορεί να κατανοηθεί ως ένα ενιαίο, ενιαίο και απλό συστατικό, που βαφτίζει άπειρον (απείρων), το αδιευκρίνιστο, ότι τα ζώα και τα φυτά εξελίσσονται και προσαρμόζονται σε μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα, που πρέπει και ο άνθρωπος να εξελίχθηκε από άλλα ζώα που βρίσκονταν στο νερό και σταδιακά βγήκαν στην ξηρά, θέτοντας τα θεμέλια μιας κατανόησης του κόσμου που σε αδρές γραμμές ισχύουν και σήμερα.

Αναξίμανδρος

Όλοι οι ανθρώπινοι πολιτισμοί, από την αρχή του χρόνου ύπαρξης τους, θεωρούσαν τον κόσμο ως έναν κόσμο που αποτελείται από τον ουρανό πάνω και τη Γη κάτω. Για να μην καταρρεύσει η Γη, πρέπει να υπάρχει περισσότερη Γη από κάτω της, ή μια μεγάλη χελώνα που ακουμπάει σ’ έναν ελέφαντα, όπως σε ορισμένους ασιατικούς μύθους, ή γιγάντιες στήλες όπως αυτές που αναφέρονται στη Βίβλο. Αυτήν την κοσμοθεωρία ή παρόμοια συμμερίζονται οι πολιτισμοί της Αιγύπτου, της Κίνας, των Μάγια, της Ινδίας, της Αφρικής, οι Εβραίοι της Βίβλου, οι Ινδιάνοι της Βόρειας Αμερικής, οι Βαβυλωνιακές αυτοκρατορίες και κάθε άλλος πολιτισμός που έχουμε ίχνη του σήμερα. Όλοι εκτός από έναν: Τον Ελληνικό πολιτισμό.
Ακόμα και στην κλασσική περίοδο, για τους Έλληνες, η Γη ήταν ένας βράχος που αιωρούνταν στο διάστημα χωρίς να πέφτει. Κάτω από τη Γη, δεν υπάρχει άλλη στεριά επ’ άπειρον, ούτε χελώνες, ούτε στήλες. Υπάρχει ο ίδιος ουρανός που βλέπουμε από πάνω μας. Πώς κατάλαβαν οι Έλληνες τόσο νωρίς ότι η Γη αιωρείται στο τίποτα και ο ουρανός συνεχίζεται κάτω από τα πόδια μας; Ποιός το κατάλαβε αυτό;
Ο Αναξίμανδρος εν μέσω όλων αυτών των δοξασιών τον έκτο π.Χ. αιώνα, έδωσε την δική του ερμηνεία για το περιβάλλον του, ακριβώς γιατί σε κάθε δοξασία της εποχής έθετε πάντα το ερώτημα “γιατί;” Το έργο του Αναξίμανδρου χάθηκε και ό,τι γνωρίζουμε γι αυτόν προέρχεται από αναφορές νεωτέρων συγγραφέων σε αυτό.
Ο Αναξίμανδρος έγραψε ένα βιβλίο σε πεζό λόγο με τίτλο «Περί Φύσης». Το βιβλίο όπως είπαμε έχει χαθεί· μόνο ένα απόσπασμα έχει απομείνει, το οποίο παραθέτει ο Σιμπλίκιος [Σχόλιο στα Φυσικά του Αριστοτέλη, 24, 13].

«Τα πάντα προκύπτουν το ένα από το άλλο και χάνονται το ένα μέσα στο άλλο, ανάλογα με την ανάγκη. Αποδίδουν δικαιοσύνη το ένα στο άλλο και ανταμείβουν το ένα το άλλο για την αδικία, σύμφωνα με την τάξη του χρόνου».

Αυτά είναι σύντομα, ασαφή λόγια για τα οποία έχουν γραφτεί πολλά και για τα οποία μπορεί κανείς εύκολα να ονειρευτεί, αλλά τα οποία είναι δύσκολο να ερμηνεύσει κανείς με βεβαιότητα, εκτός των συμφραζομένων τους.
Οι ελληνικές πηγές σχετικά με το περιεχόμενο του βιβλίου του Αναξίμανδρου είναι πολυάριθμες. Πολλές, ωστόσο, είναι ύστερες, έμμεσες και όχι πάντα αξιόπιστες. Μία από τις πιο ενδιαφέρουσες είναι αυτές του Αριστοτέλη, ο οποίος συζητά επανειλημμένα τις ιδέες του Αναξίμανδρου και γράφει γι αυτές κάπου λιγότερο από δύο αιώνες μετά από αυτόν. Κατά πάσα πιθανότητα, ο Αριστοτέλης είχε το βιβλίο του Αναξίμανδρου στη διάσημη βιβλιοθήκη του. Η σκέψη του Αναξίμανδρου παρουσιάζεται λεπτομερώς στις «Γνώμες των Φυσικών», μια ιστορία της φιλοσοφίας που γράφτηκε από τον Θεόφραστο, μαθητή του Αριστοτέλη και διάδοχο ως ηγέτη της Περιπατητικής σχολής. Το έργο του Θεόφραστου έχει χαθεί, αλλά συζητείται εκτενώς σε αρκετές πολύ μεταγενέστερες πηγές που έχουν φτάσει σε εμάς, για παράδειγμα, ο Σιμπλίκιος, ένας φιλόσοφος που έζησε μεταξύ Αλεξάνδρειας και Αθήνας τον έκτο αιώνα μ.Χ. Πάνω από μια χιλιετία πέρασε μεταξύ του Αναξίμανδρου και του Σιμπλίκιου.

Η σύγχρονη ανακατασκευή της σκέψης του Αναξίμανδρου, ξεκινώντας από παρόμοιες πηγές -πολυάριθμες, αλλά ανόμοιες και ύστερες- είναι ένα συναρπαστικό αίνιγμα. Οι σύγχρονες τεχνικές για το ξεδίπλωμα και την αποκρυπτογράφηση των αρχαίων απανθρακωμένων ρολών που αποκαλύπτουν οι αρχαιολογικές ανασκαφές σε αρχαίες ρωμαϊκές βιβλιοθήκες βελτιώνονται τώρα, όπως και οι τεχνικές για την ακτινογραφία αιγυπτιακών περιτυλίξεων μουμιών, που συχνά λαμβάνονται με το σκίσιμο αντιγράφων βιβλίων. Με την ελπίδα ότι ένα από αυτά θα αποκαταστήσει το κείμενο του Θεόφραστου, ή ίσως τελικά το ίδιο το κείμενο του Αναξίμανδρου, σε αυτές τις ανακατασκευές πρέπει να βασιστούμε.

Χωρίς να εμβαθύνουμε στις λεπτομέρειες αυτής της πολύπλοκης τέχνης, συνοψίζουμε παρακάτω τις κύριες ιδέες που, υπό το φως των πιο αξιόπιστων μελετητών [Kahn 1960, Conche 1991, Couprie 2003, Graham 2006], φαίνεται λογικό να αποδοθούν στον Αναξίμανδρο:

1. Τα καιρικά φαινόμενα έχουν φυσικά αίτια. Το νερό της βροχής, το θαλασσινό νερό και το νερό των ποταμών εξατμίζονται λόγω της θερμότητας του ήλιου· μεταφέρονται από τους ανέμους και στη συνέχεια πέφτουν στη γη. Οι βροντές και οι αστραπές προκαλούνται από τη σύγκρουση και το σχίσιμο των νεφών. Οι σεισμοί προκαλούνται από το σχίσιμο της Γης, που προκαλείται, για παράδειγμα, από υπερβολική ζέστη ή υπερβολική βροχή.

2. Η Γη είναι ένα πεπερασμένο σώμα που αιωρείται στο διάστημα. Δεν πέφτει επειδή δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την οποία να πέσει και δεν «κυριαρχείται από κανένα άλλο σώμα».

3. Ο Ήλιος, η Σελήνη και τα αστέρια περιστρέφονται γύρω από τη Γη σε πλήρεις κύκλους. Μεταφέρονται από τεράστιους τροχούς, παρόμοιους με τους «τροχούς των αρμάτων». Αυτοί οι τροχοί είναι κούφιοι στο εσωτερικό τους, γεμάτοι με φωτιά και έχουν τρύπες μέσα τους: τα αστέρια είναι η φωτιά που βλέπουμε μέσα από αυτές τις τρύπες. Οι τροχοί πιθανώς χρησιμεύουν για να εξηγήσουν γιατί τα αστέρια δεν πέφτουν. Τα αστέρια βρίσκονται σε πιο κοντινούς κύκλους, η Σελήνη σε έναν ενδιάμεσο κύκλο και ο Ήλιος στον πιο μακρινό κύκλο, σε αποστάσεις ανάλογες με τους αριθμούς 9, 18 και 27, αντίστοιχα.

4. Η πολλαπλότητα των πραγμάτων που αποτελούν τη φύση προέρχεται από μια ενιαία αρχή ή «αρχή», που ονομάζεται «άπειρον», δηλαδή το «αδιάκριτο».

5. Ο μετασχηματισμός των πραγμάτων το ένα σε άλλο διέπεται από την «αναγκαιότητα». Αυτό καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσονται τα φαινόμενα με την πάροδο του χρόνου.

6. Ο κόσμος γεννήθηκε όταν το κρύο και η ζέστη διαχωρίστηκαν από το «άπειρο». Αυτό δημιούργησε την τάξη του κόσμου. Ένα είδος σφαίρας φλόγας αναπτύχθηκε γύρω από τον αέρα και τη Γη «σαν τον φλοιό ενός δέντρου». Αυτή στη συνέχεια θρυμματίστηκε και παρέμεινε περιορισμένη μέσα στους κύκλους που σχηματίζουν τον Ήλιο, τη Σελήνη και τα αστέρια. Η Γη αρχικά καλύφθηκε με νερό και σταδιακά ξηράνθηκε.

7. Όλα τα ζώα προήλθαν αρχικά από τη θάλασσα ή από την αρχική υγρασία που κάποτε κάλυπτε τη Γη. Τα πρώτα ζώα ήταν επομένως ψάρια ή ένα είδος ψαριού. Στη συνέχεια μετανάστευσαν στην ξηρά και εγκαταστάθηκαν εκεί. Οι άνθρωποι, ειδικότερα, δεν θα μπορούσαν να έχουν προκύψει στην τρέχουσα μορφή τους, επειδή τα μικρά παιδιά δεν είναι αυτάρκη και επομένως κάποιος άλλος πρέπει να τα τάισε. Προέκυψαν από άλλα ζώα, σε σχήμα ψαριού.